ρ(∂v/∂t + v·∇v) = -∇p + μΔv + b
∇·v = 0
Un recinto ornato
Una perfetta descrizione
L’eleganza formale del movimento
Il mistero del reale
L’immensa creatività della vita
Il movimento in un pugno
Una spiegazione confortante senza soluzioni
(da “Il sentiero sull’acqua”)
Una notizia, in questi giorni, mi ha colpito — o forse dovrei dire turbato: è stato come vedere, su un giornale o in televisione, la foto di un vecchio amico o di una vecchia fiamma. Un colpo al cuore che ha riaperto una scatola piena di ricordi, in una soffitta della mia mente. OpenAI ha dichiarato di aver fatto un passo enorme su uno dei problemi più celebri della matematica: le equazioni di Navier-Stokes, quelle che descrivono il moto dei fluidi — l’acqua che scorre, l’aria che avvolge un’ala, il sangue nelle vene.
Un’equazione di quasi duecento anni
Quasi duecento anni fa, Claude-Louis Navier — ingegnere francese, tra i primi a portare il rigore del calcolo matematico nella progettazione dei ponti — e George Gabriel Stokes — matematico e fisico irlandese, per quasi quarant’anni alla cattedra di Cambridge che era stata di Newton — cercarono di descrivere matematicamente il movimento caotico dei fluidi: le equazioni, abbozzate da Navier nel 1822, presero la forma che conosciamo oggi grazie alle correzioni di Stokes vent’anni più tardi. Sono equazioni ancora oggi utilizzate quotidianamente da chiunque, dai progettisti di aeromobili ai climatologi — nessuno dubita che funzionino. Quello che resta un problema aperto è se ammettano sempre, in ogni caso, una soluzione fisicamente sensata: è una delle domande raccolte nei sette “problemi del millennio“, quelli per cui il Clay Mathematics Institute mette in palio un milione di dollari a chi li risolve. Da quasi un secolo, nessuno c’era mai riuscito a rispondere fino in fondo.
Il ricordo di un mistero quasi sacro
La notizia mi ha toccato profondamente, per diversi motivi. Sono un ingegnere aerospaziale: quelle equazioni le ho studiate sui banchi dell’Università La Sapienza, e leggendo la notizia ho rivissuto sensazioni provate a quei tempi, nelle aule della facoltà di San Pietro in Vincoli, a Colle Oppio, a Roma. In quegli anni, mentre cercavo di carpire i segreti del vento per farne la professione della mia vita, trovai nelle equazioni di Navier-Stokes una bellezza formale quasi ossessiva, unita alla scoperta che nessuno sapeva — e in parte ancora non sa — se esista sempre una soluzione liscia e ben definita per il caso generale. Un’eleganza avvolta nel mistero della propria insolubilità.
La scoperta di un mistero quasi sacro, fatta — non a caso, mi piace pensare — in una facoltà ricavata da un convento e su un colle che la sacralità la conosceva già in epoca arcaica: si narra che l’area fosse legata a un antico bosco sacro di faggi, e che nei secoli successivi vi sorgessero alcuni dei monumenti più celebri dell’antichità — la Domus Aurea di Nerone, le Terme di Tito e di Traiano, la villa di Mecenate. Quelle sensazioni mi sono rimaste dentro per anni, tanto che ne è nata la poesia che apre questo post, poi confluita nella raccolta Il sentiero sull’acqua.
Quando ho letto la notizia, il mio primo pensiero è stato: quel mistero si è dissolto. Ma leggendo meglio, la cosa è più sottile — e, a pensarci, ancora più affascinante di come l’avevo capita in un primo momento.
Cosa ha dimostrato davvero OpenAI
Qui però bisogna essere precisi, perché quello che è stato dimostrato non è esattamente ciò che suggeriscono i titoli dei giornali. Le equazioni di Navier-Stokes, in fondo, non fanno che applicare al continuo di un fluido la legge di Newton — F = m·a, forza uguale a massa per accelerazione — lasciando spazio a una forza esterna che possa agitarlo. Da quasi un secolo i matematici tentano di dimostrare una di due cose: che, partendo da condizioni ragionevoli, la soluzione resti sempre liscia — fisicamente plausibile, prevedibile in ogni suo punto — oppure che esistano condizioni in cui l’equazione produca invece un risultato privo di senso fisico. OpenAI non ha dimostrato la prima. Ha dimostrato la seconda, in un caso ben preciso: partendo da un fluido perfettamente “tranquillo”, senza traccia di turbolenza, hanno mostrato che un vortice può stringersi su se stesso e allungarsi come uno spaghetto sempre più sottile, fino a raggiungere, in un tempo finito, una velocità infinita in un singolo punto. Nulla, nella realtà, può muoversi a velocità infinita — nemmeno la luce. È il momento in cui la matematica del problema smette di funzionare: la soluzione, fino a un attimo prima perfettamente regolare, si rompe.
Questo non vuol dire che le equazioni siano sbagliate, ma che sono incomplete: trattano il fluido come un mezzo continuo e liscio, mentre ogni fluido reale è fatto di atomi e molecole discrete. Il risultato suggerisce che, partendo dalle sole equazioni di Navier-Stokes, si può costruire uno scenario in cui esse escono dal proprio raggio di validità — e a quel punto deve intervenire dell’altra fisica, quella che nella realtà impedisce all’infinito di manifestarsi davvero. È, se vogliamo, il “recinto ornato” che ammette, ai propri margini, un varco.
Una gara, e una disputa sui crediti
Colpisce anche il modo in cui ci si è arrivati. Gli agenti di OpenAI hanno affrontato prima un problema cugino, più semplice — le equazioni di Eulero, che ignorano la viscosità — trovandone una soluzione con mille agenti in cinquanta ore di lavoro; poi sono passati in massa, con diecimila agenti, all’attacco delle equazioni di Navier-Stokes complete, arrivando a una soluzione in pochi giorni e verificandola formalmente, riga per riga, nel giro di ventiquattr’ore. Il tutto è costato, per stessa ammissione dell’azienda, alcuni milioni di dollari — una cifra che, calcolata sul costo di calcolo effettivamente sostenuto, si avvicina per un curioso scherzo del destino proprio al milione di dollari messo in palio dal Clay Institute. E non è stato un puro esercizio di ambizione scientifica: OpenAI ha ammesso di essersi lanciata nell’impresa dopo aver sentito circolare voci secondo cui un concorrente — Anthropic — potesse essere vicino a risolvere non uno, ma due problemi del millennio.
Proprio questa competizione ha acceso una disputa che aggiunge, alla vicenda, un risvolto più umano e meno confortante. Da circa un anno il matematico Tristan Buckmaster (New York University) e Levent Alpöge, ricercatore legato ad Anthropic, lavoravano in una collaborazione personale e autofinanziata sullo stesso terreno, trasformando quella che Buckmaster ha definito pubblicamente “AI slop” — un abbozzo grezzo prodotto dall’intelligenza artificiale — in una dimostrazione leggibile. Quando hanno fatto sapere che stavano per pubblicare, secondo il racconto di Buckmaster OpenAI gli avrebbe offerto la paternità esclusiva del risultato a patto che il nome di Alpöge sparisse dal lavoro: un’offerta che ha rifiutato. OpenAI nega di aver avuto accesso al loro lavoro prima della pubblicazione, pur non escludendo che dati anonimizzati provenienti dall’uso dei propri strumenti possano aver influito, indirettamente, sull’addestramento dei modelli. Una domanda che resta aperta.
Un mistero che cambia forma
E qui, credo, sta il punto vero. Non è che il mistero si sia dissolto: si è spostato. La domanda “esiste sempre una soluzione?” resta aperta. Quello che è cambiato è che ora sappiamo, con una dimostrazione formale alle spalle, che la levigatezza del reale può rompersi — che anche nel cuore di un’equazione così elegante si nasconde la possibilità del collasso. “Senza soluzioni”, scrivevo anni fa, pensando a un limite della conoscenza umana. Oggi quella frase ha un significato ancora più letterale: non che manchi una spiegazione, ma che la soluzione stessa, a un certo punto, può smettere di esistere.
Cosa resta umano
Da un lato, tutto questo fa ben sperare per il futuro. Se una rete di agenti artificiali riesce, in pochi giorni, a produrre e verificare un risultato su cui generazioni di matematici si sono arenate, allora l’intelligenza artificiale potrà davvero aiutarci a spingere avanti la frontiera dei problemi complessi — gli stessi ricercatori di OpenAI parlano già di nuovi materiali e di cure per malattie come prossimi terreni possibili, non solo di teoremi. Dall’altro lato, la stessa vicenda apre uno scenario nuovo: se l’AI comincia a risolvere, o a rompere, i misteri che credevamo nostri, forse ci sta semplicemente spostando verso misteri di ordine diverso — su cosa significhi davvero dimostrare qualcosa, su chi ne abbia il merito, su quanto di una scoperta resti comprensibile a una mente umana che non potrà mai leggere, tutte insieme, le righe di una verifica formale lunga come un romanzo.
A noi, in ogni caso, resterà qualcosa che nessun agente artificiale può fare al posto nostro: la capacità di fermarci davanti a un vortice che si stringe su se stesso e sentirci, per un attimo, dentro il mistero — non fuori a osservarlo.
È la parte più umana di fronte alla creatività di un modello matematico che, nella sua perfezione geometrica, sembra quasi un’opera d’arte di Michelangelo — come il Mosè che si trova a San Pietro in Vincoli, nella basilica accanto al chiostro dov’è oggi la facoltà in cui studiai proprio quelle equazioni.
Continueremo a stupirci davanti alle scoperte della matematica e della fisica, frutto della nostra intuizione, e magari a scrivere poesie sulle equazioni molto dopo che avranno smesso di stupirci come problemi, perché quello che cerchiamo in esse non è mai stata soltanto la soluzione.
